RUMUS KELILING LINGKARAN

Rumus Keliling Lingkaran

Yang dimaksud dengan keliling lingkaran adalah panjang dari garis tepi yang melingkar. Untuk mencari panjang dari keliling lingkaran tentu ada rumusnya. Tetapi anda tidak perlu repot-repot untuk menciptakan rumus tersebut karena jauh sebelum kita lahir para ahli matematika sudah bekerja keras dalam memecahkan apa-apa saja yang penting dalam bidang ilmu matematika atau ilmu hitung. Pada contoh pola bidang datar lain seperti empat persegi panjang, segi lima, segi tiga maka untuk mencari panjang keliling sangat mudah sekali. Tidak perlu suatu rumus yang rumit yang hanya bisa ditemukan oleh para jenius. Ini karena panjang keliling pada pola bidang datar lainya bisa dicari dengan logika yang sederhan. Sebagai contoh untuk mencari keliling pada segitiga maka kita tingga menjumlahkan panjang dari ketiga sisi-sisi segitiga. Sama halnya pada segi empat, segi lima, segi enam, trapesium, jajaran genjang dan bentuk pola lainnya, maka anda hanya tinggal menjumlahkan beberapa sisi-sisi tepi yang membentuk pola tersebut.

Menurut saya pribadi banyak lebih mengingat rumus luas lingkaran daripada rumus keliling lingkaran. Saya juga tidak tahu alasan secara pasti. Yang pasti saya juga sering lupa-lupa ingat dengan rumus keliling lingkaran. 

Dari gambar lingkaran di atas jika diketahui jari-jari = 7 maka keliling lingkaran tersebut adalah 44. Nilai tersebut sangat sesuai dengan nilai yang kita dapatkan dengan rumus keliling yang telah ditetapkan yakni :

K = 2 . pi . r

Dik :

K = Keliling lingkaran

pi = 22/7

r = jari-jari / radius

Lingkaran memiliki rumus sebagai berikut :

Keliling = 2pR

Luas = pR²

Dengan nilai p »3,1415……

p diperoleh dengan membandingkan keliling dengan diameternya

p = K/d atau K = pd

Karena d = 2R maka K = 2pR

Perhatikan bahwa panjang busur AB adalah seperempat keliling lingkaran dan luas OAB adalah seperempat luas lingkaran. Nilai seperempat ini sebenarnya berasal dari 90^o/360^o, karena sudut AOB sama dengan 90^o.

Jika sudut AOB kita ganti a
maka bentuk 90^o/360^o berubah menjadi a/360^o

Perhatikan gambar berikut :

Dari gambar tersebut dapat
disimpulkan bahwa

Phytagoras

Pernah denger tentang phytagoras? Itu lho… Ilmuwan yang terkenal dengan teoremanya. Yang namanya kayak nama dia. Yaitu teorema Phytagoras.

Umumnya, Phytagoras dituliskan sebagai berikut :

a²+b²=c²

Dimana :

a = Sisi tinggi

b = Sisi alas

c = Sisi miring

Teorema phytagoras juga bisa untuk nentuin segitiga berdasarkan sudutnya lho…

>> Kalau a²+b²=c² berarti segitiga siku-siku

>> Kalau a²+b²>c² berarti segitiga tumpul

>> Kalau a²+b²<c² berarti segitiga lancip

Selain untuk nentuin jenis segitiga berdasarkan sisinya dan menentukan sisi segitiga siku-siku. Phytagoras juga bisa nentuin jarak dua titik.

Misalnya, kamu punya dua titik, yaitu : A (x­₁,y₁) dan B (x­₂,y₂). Cobain deh, hubungin 2 titik itu dengan garis. Pasti jadinya sisi miring kan?

Nah, jadi kamu bisa nyari jaraknya dengan phytagoras. trus gimana dengan sisi tinggi (a) dan sisi alasnya (b)?

Panjang a = y_{2 –} y₁

Panjang b = x­_{2 –} x­₁

Jadi, nyari panjang titik A dan B :

a²+b²=c²

(x₂ - x₁ )²+ (y₂-y₁) ²=AB²

Dimana :

(x₂ - x₁ ) = Koordinat titik A

(y₂-y₁) = Koordinat titik B

AB = Jarak titik A dan B

Phytagoras juga bisa nentuin sisi persegi jika diketahui panjang diagonalnya juga lho…

Caranya :

(Andaikan saja panjang diagonalnya y dan sisinya x)

a²+b²=c²

x²+x²=y²

2x²=y²

Nah, kan a²+b²=c². Jadi kita bisa nyebut a, b, dan c sebagai tripel phytagoras.

Trus, gimana cara nyari bilangan tripel phytagoras lainnya?

Gampang!

Caranya :

Ambil 2 bilangan dan sebut aja bilangan pertama m dan ke-2 (syaratnya, n>m. Soalnya dirumus ini kita pakai konstanta pengganti m yang lebih kecil dari n. Kalau mau lebh besar. Silahkan tinggal diputar balikkan rumusnya ). Misalnya, m = 2 dan n = 3.

Mencari tripel phytagoras :

n²-m²=a

2mn=b

n²+m²=c

Kalau kita masukin 2 dan 3-nya :

3²-2²= 5 (a)

2x3x2 = 12 (b)

3²+2²=13 (c)

Jadi, 5,12,13 adalah tripel phytagoras.

Rumus Logika Matematika Dasar

1) Pernyataan atau kalimat
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu :
Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh :

a) 5 x 4 = 20 (pernyataan tertutup yang benar)
b) 5 + 4 = 20 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.
Contoh :

a : Ada daun yang berwarna hijau
b : Gula putih rasanya manis

2) Ingkaran Pernyataan atau negasi
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.
Contoh :

Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.
Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran

3) Pernyataan Majemuk
a. Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan

b. Disjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan .

c. Implikasi
Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan .

d. Biimplikasi
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan .

4) Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

5) Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.


6) Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

Limit Fungsi Trigonometri

trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :

Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :

Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:

Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan
rumus perhitungan turunan :

 

 

Rumus Statistika Matematika

Pelajaran Statistika di tingkat SMA meliputi mean, modus, median, jangkauan, simpangan, dan ragam

1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

2. Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Rumus Median (Nilai Tengah)


a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)

6. Rumus Simpangan baku ( S )

7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)

8. Rumus Ragam (R)

Contoh soal statistika

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :